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Lp空間L空間

時間：2023-04-01 11:38:01 | 來源：營銷百科

時間：2023-04-01 11:38:01 來源：營銷百科

Lp空間L空間：泛函分析中，常常會在某類函數(shù)的集合上架設(shè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)乃至更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，以便使用拓?fù)淠酥练治鰧W(xué)的知識來討論這些集合的屬性。最常見的附加結(jié)構(gòu)是賦范向量空間。將函數(shù)集合作為裝備了范數(shù)向量空間來看待，有助于理解函數(shù)類的關(guān)系和性質(zhì)。范數(shù)是歐幾里德空間中長度概念的推廣。在平面幾何或立體幾何中，長度以及距離是最基本的概念之一。對象的形狀、位置、大小等性質(zhì)或關(guān)系都是建立在長度和距離的定義上。最直觀的長度概念是由平直物理空間中抽象而來，滿足勾股定理。例如說在平面上，原點到點的向量長度是。三維空間中，原點到點的向量長度。長度函數(shù)滿足如下的基本性質(zhì)：

  1. 只有零向量的長度是零：

    數(shù)乘線性：

    滿足三角不等式：

比如說在更一般的n維歐幾里德空間中，可以定義向量的歐幾里德長度是

這個函數(shù)也滿足以上的基本性質(zhì)。更一般地，在向量空間中，滿足以上性質(zhì)的函數(shù)：稱為上的'長度'函數(shù)或范數(shù)。比如在歐幾里德空間中也可以對給定的實數(shù)p ≥ 1定義范數(shù)：

這個范數(shù)稱為上的p-范數(shù)。p = 2的時候，就是常見的歐幾里德范數(shù)。p = 1的時候，是所謂的曼哈頓距離。當(dāng)p趨于無窮大的時候，p-范數(shù)趨于一個'極限'范數(shù)，稱為一致范數(shù)（也記作L∞-范數(shù)），定義為：

對不同的p來說，等長度點的集合是不一樣的。比如右圖列出了三種不同范數(shù)下單位圓（從原點出發(fā)，'長度'等于1的點的集合）形狀。

關(guān)鍵詞：空間

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