Zaslavsky Web Map哈密頓混亂網(wǎng)相圖

時(shí)間：2023-05-11 14:00:02 | 來源：網(wǎng)站運(yùn)營(yíng)

時(shí)間：2023-05-11 14:00:02 來源：網(wǎng)站運(yùn)營(yíng)

Zaslavsky Web Map哈密頓混亂網(wǎng)相圖：哈密頓混沌理論是高等理論力學(xué)中的推導(dǎo)出的一部分，它基于KAM理論，探討了在一定微擾狀態(tài)下的相空間的點(diǎn)的散布情況。

術(shù)語(yǔ)“混沌”常常用于描述系統(tǒng)的軌跡對(duì)初始條件的微小變化都很敏感的現(xiàn)象。在現(xiàn)實(shí)中，這種運(yùn)動(dòng)的特性類似于那些隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的特性。如果我們把自己限制在具有以下特點(diǎn)的哈密爾頓系統(tǒng)上area-preserving 的動(dòng)力學(xué)，上述混沌的定義就會(huì)顯得令人困惑。一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡能否在某些時(shí)候是混沌的，而在其余時(shí)間是 "有規(guī)律的“？

我們可以看到哈密頓混亂相圖，在某種程度上是規(guī)律對(duì)稱的。明明是混亂的無(wú)序，但卻有有序的美。

接下來做一個(gè)對(duì)Zaslavsky Web Map的簡(jiǎn)單推導(dǎo)：

假設(shè)我們有一個(gè)諧振子，在一個(gè)微擾的磁場(chǎng)的影響下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為： /ddot{x}+/omega_0^2x=-/omega_0^2/sum_{n=-/infty}^{/infty}{sin(kx-/omega t-n/Delta/omega t)} // =-/omega_0^2Tsin/theta /sum_{n=-/infty}^{/infty}{/delta(t-nT)}

在式子中， T=2/pi//triangle/omega,/theta=kx-/omega t 并使用傅立葉變換，映射到delta函數(shù)中。設(shè)諧振子質(zhì)量m=1，可以得到該運(yùn)動(dòng)的哈密頓量：

H=/frac{1}{2}p^2+/frac{1}{2}/omega_0^2x^2-/frac{/omega_0^2T}{k}cos/theta/sum_{n=-/infty}^{/infty}{/delta(t-nT)}//

這個(gè)哈密頓量包括了一個(gè)自由粒子的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，諧振子的諧振項(xiàng)和以一定頻率微擾的微擾項(xiàng)。通過對(duì)tn的前一無(wú)限小時(shí)刻和tn的后一無(wú)限小時(shí)刻相等作為邊界條件： x(t_{n+0})=x(t_{n-0})// /dot{x}(t_{n+0})=/dot{x}(t_{n-0})-/omega_0^2Tsin(kx-/omega nT)

這樣就得到了Web 方程： p_{n+1}=[p_n+/omega_0^2Tsin(/omega nT-kx_n)]cos/alpha-/omega_0x_nsin/alpha // x_{n+1}=x_ncos/alpha+/frac{1}{/omega_0}[p_n+/omega_0^2Tsin(/omega nT-kx_n)]sin/alpha

對(duì)上述方程進(jìn)行化簡(jiǎn)： /alpha=/omega T,u=kp//omega_0,v=-k/x,K=/omega_0T u_{n+1}=(u_n+Ksinv_n)cos/alpha+v_nsin/alpha// v_{n+1}=-（u_n+Ksinv_n)sin/alpha+v_ncos/alpha

通過對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行迭代計(jì)算，我們可以得到不同的哈密頓混亂圖。有以下特點(diǎn)

1.這個(gè)Web方程很容易受到初始點(diǎn)位置的影響，如果初始點(diǎn)位于fixed point，那體系將會(huì)收斂，不在混亂。如果初始點(diǎn)有一點(diǎn)點(diǎn)的改變，迭代多次后的混亂譜圖也會(huì)有不同的樣子。

2.混亂譜圖具有對(duì)稱性，其對(duì)稱軸數(shù)為諧振子本身的諧振頻率和外加磁場(chǎng)的頻率之比。混亂譜圖的每一個(gè)小部分依然與整張圖的對(duì)稱性相同。

3.混亂度K，影響了Web map的不穩(wěn)定區(qū)域((u,v)點(diǎn)能經(jīng)過的位置）的大小，K越大，留白的地方（Island）越小，不穩(wěn)定區(qū)域越大且擴(kuò)散也越快。但是K一旦超過一個(gè)臨界值，該混亂運(yùn)動(dòng)將不能投影到2-D的相空間中。由于u(n),v(n)變換到u(n+1),v(n+1)的變換矩陣M得不到特征值解，所以K具有一個(gè)上限。

哈密頓混亂網(wǎng)相圖是完全隨機(jī)的，你永遠(yuǎn)不能通過最初的點(diǎn)直接預(yù)測(cè)10000次迭代后的點(diǎn)。但是它又是那樣的具有對(duì)稱性的規(guī)律?？梢哉f是我見過的最漂亮的理論物理圖案了。他研究的意義在于對(duì)這個(gè)充滿擾動(dòng)的地球來說，我們掌握了參與擾動(dòng)的因素，能不能預(yù)測(cè)地球的發(fā)展的未來呢？宇宙本身也是一個(gè)混亂系統(tǒng)，在不斷地迭代，擴(kuò)散，我們能不能預(yù)測(cè)未來的宇宙，或者推測(cè)那個(gè)宇宙的初始的狀態(tài)呢？

1. Zaslavskii, G. M., et al. "Stochastic web and diffusion of particles in a magnetic field." Sov. Phys. JETP 64.2 (1986): 294-303.

2. Zaslavski?, G. M., et al. "Minimal chaos, stochastic webs, and structures of quasicrystal symmetry." Soviet Physics Uspekhi 31.10 (1988): 887.

3. Zaslavsky, George M. The physics of chaos in Hamiltonian systems. world scientific, 2007.