函數(shù)(數(shù)據(jù)庫(kù))

時(shí)間：2022-12-26 02:30:01 | 來(lái)源：信息時(shí)代

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    函數(shù) : 一種特殊的二元關(guān)系,又稱(chēng)作映射。如果二元關(guān)系F是單值的, 即∀x∈domF,存在唯一的y使得〈x,y〉∈F,則稱(chēng)F為函數(shù)。常用F,G,H,f,g,h等表示函數(shù),并把xFy記作y=F(x)。例如,F={〈a,1〉,〈b,2〉,〈c,3〉}是函數(shù),其中F(a)=1,F(b)=2,F(c)=3;而G={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,c〉}不是函數(shù)。
如果domF=A, ranFB,則稱(chēng)F是A到B的函數(shù),并記作F: A→B。A到B的全體函數(shù)記作B^A,即B^A＝{f|f:A→B}。當(dāng)A和B分別有n和m個(gè)元素時(shí),B^A有mⁿ個(gè)函數(shù)。例如,A={a,b},B={1,2,3},則B^A＝{f₁,f₂,…,f₉},其中f₁＝{〈a,1〉,〈b,1〉},f₂＝{〈a,1〉,〈b,2〉},f₃＝{〈a,1〉,〈b,3〉},f₄＝{〈a,2〉,〈b,1〉},…,f₉＝{〈a,3〉,〈b,3〉}。注意:∅^∅＝{∅}; B≠∅時(shí),B^∅＝{∅};而A≠∅時(shí),∅^A＝∅。設(shè)f:A→B,A₁A, {f(x)|x∈A₁}稱(chēng)作A₁在f下的象,記為f(A₁₎。特別地,f(A)稱(chēng)為f的象。f的象也就是f的值域。設(shè)B₁B, {x|x∈A且f(x)∈B₁}稱(chēng)作B₁在f下的原象,記為f^-1(B₁)。例如,設(shè)A={a,b,c,d},f定義為:f(a)=1,f(b)=2,f(c)=1,f(d)=3,則f({a,b})={1,2},f^-1({1,2})={a,b,c}。
(1) 函數(shù)的性質(zhì): 設(shè)f:A→B。①滿射: 如果f(A)=B, 則稱(chēng)f是滿射。②單射: 如果∀x, y∈A, 若x≠y,必有f(x)≠f(y),則稱(chēng)f是單射。③雙射: 如果f既是滿射、又是單射,則稱(chēng)f是雙射。④單調(diào)性:設(shè)〈A, ≼₁〉, 〈B,≼₂〉為兩個(gè)偏序集,f:A→B, 如果∀x, y∈A, x₁y蘊(yùn)涵f(x)≼₂f(y), 則稱(chēng)f是單調(diào)增加的; 又, 如果∀x, y∈A, x₁y蘊(yùn)涵f(x)₂f(y), 則稱(chēng)f是嚴(yán)格單調(diào)增加的。 如果∀x, y∈A, x₁y蘊(yùn)涵f(y)≼₂f(x),則稱(chēng)f是單調(diào)減少的;又,如果∀x,y∈A,x₁y蘊(yùn)涵f(y))₂f(x), 則稱(chēng)f是嚴(yán)格單調(diào)減少的。例如,f:R→R,f(x)=2x+1是雙射;g:R→R,g(x)=x²,g既不是單射,也不是滿射,更不是雙射; 而h:R→R^*,h(x)=x²,是滿射,但不是單射;p:R^*→R,p(x)=x²,是單射,但不是滿射;q:R^*→R^*,q(x)=x²,是雙射,其中R^*是非負(fù)實(shí)數(shù)集。按照實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,f是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而g不是單調(diào)的。
(2)函數(shù)的復(fù)合(或合成): 關(guān)系的復(fù)合(見(jiàn)關(guān)系)在函數(shù)上的應(yīng)用。設(shè)f:A→B,g: B→C,f與g的復(fù)合g°f是A到C的函數(shù), ∀x∈A, g°f(x)=g(f(x))。
(3)反函數(shù): 設(shè)f:A→B是雙射函數(shù),則f的逆(見(jiàn)關(guān)系)f^-1: B→A也是函數(shù),稱(chēng)為f的反函數(shù)。