商群例子

時(shí)間：2023-02-21 04:14:02 | 來(lái)源：營(yíng)銷(xiāo)百科

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商群例子：考慮整數(shù)集Z（在加法下）的群和所有偶數(shù)構(gòu)成的子群2Z。這是個(gè)正規(guī)子群，因?yàn)?b>Z是阿貝爾群。只有兩個(gè)陪集：偶數(shù)的集合和奇數(shù)的集合；因此商群Z/2Z是兩個(gè)元素的循環(huán)群。這個(gè)商群同構(gòu)于集合{ 0, 1 }帶有模2加法運(yùn)算的群；非正式的說(shuō)，有時(shí)稱(chēng)Z/2Z等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。

上個(gè)例子的稍微一般化。再次考慮整數(shù)集Z在加法下的群。設(shè)n是任何正整數(shù)。我們考慮由n的所有倍數(shù)構(gòu)成的Z的子群nZ。nZ在Z中還是正規(guī)子群因?yàn)?b>Z是阿貝爾群。陪集們是搜集{nZ,1 nZ,...,(n?2) nZ,(n?1) nZ}。整數(shù)k屬于陪集r nZ，這里的r是k除以n的馀數(shù)。商Z/nZ可以被認(rèn)為模以n的'馀數(shù)'的群。這是個(gè)n階循環(huán)群。

考慮復(fù)數(shù)十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G，它們是在單位圓上的點(diǎn)，它們?cè)谟覉D中展示為著色的球并在每點(diǎn)上用數(shù)標(biāo)記出它們的輻角。考慮它由單位一的四次根構(gòu)成的子群N，在圖中表示為紅色球。這個(gè)正規(guī)子群把群分解為三個(gè)陪集，分別表示為紅色、綠色和藍(lán)色。你可以驗(yàn)證這些陪集形成了三個(gè)元素的群（紅色元素和藍(lán)色元素的乘積是藍(lán)色元素，藍(lán)色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群G/N是三種顏色元素的群，它又是三個(gè)元素的循環(huán)群。

考慮實(shí)數(shù)集R在加法下的群，和整數(shù)集子群Z。Z在R中的陪集們是形如a Z的所有集合，這里0 ≤ a 1是實(shí)數(shù)。這種陪集的加法是通過(guò)做相應(yīng)的實(shí)數(shù)的加法，并在結(jié)果大于或等于1的時(shí)候減去1完成的。商群R/Z同構(gòu)于圓群S¹，它是絕對(duì)值為1的復(fù)數(shù)在乘法下的群，或者說(shuō)關(guān)于原點(diǎn)的二維旋轉(zhuǎn)的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一個(gè)同構(gòu)給出為f(a Z) = exp（2πia，參見(jiàn)歐拉恒等式）。

如果G是可逆的3 × 3實(shí)數(shù)矩陣的群，而N是帶有行列式為1的3 × 3實(shí)數(shù)矩陣的子群，那么N在G中是正規(guī)子群（因?yàn)樗切辛惺酵瑧B(tài)的核）。N的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此G/N同構(gòu)于非零實(shí)數(shù)的乘法群。

考慮阿貝爾群Z₄ = Z/4Z（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法模4），和它的子群{ 0, 2 }。商群Z₄ / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群，群運(yùn)算如{ 0, 2 } { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構(gòu)于Z₂。

考慮乘法群。第n個(gè)馀數(shù)的集合N是的? (n)階乘法子群。則N在G中是正規(guī)子群并且因子群G/N有陪集N,（1 n）N, (1 n)²N,…,(1 n)^n?1N。Pallier加密系統(tǒng)基于了在不知道n的因子分解的時(shí)候難于確定G的隨機(jī)元素的陪集的猜想。