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商空間定義

時間：2023-03-29 16:54:01 | 來源：營銷百科

時間：2023-03-29 16:54:01 來源：營銷百科

商空間定義：假設(shè)X是一個拓撲空間，~是X上一個等價關(guān)系。我們在商集合X/~（這個集合有所有~的等價類組成）上定義一個拓撲如下：X/~中一個等價集合是開集當且僅當他們的并集在X中是開集。所得的拓撲稱為在商集合X/~上的商拓撲（quotient topology）。

等價地，商拓撲可以如下方式刻畫：設(shè)q: X → X/~是投影映射，將X的任何元素映為它的等價類。則X/~上的商拓撲是使q 連續(xù)的最細拓撲（finest topology）。

給定一個滿射f: X → Y從一個拓撲空間X到一個集合Y，我們可以在Y上定義商拓撲為使f連續(xù)的最細拓撲。這等價于說集合V ? Y在Y中開當且僅當它的原像f?1(V)在X中開。映射f在X上誘導了一個等價關(guān)系，即x1~x2當且僅當f(x1) = f（x2）。這個商空間X/~ 同胚于Y（帶著它的商拓撲），同構(gòu)映射為將x的等價類映為f(x)。

一般地，一個滿連續(xù)映射f: X → Y稱為一個商映射（quotient map）如果Y具有由f確定的商拓撲。

關(guān)鍵詞：定義,空間

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