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Lp空間

時間:2023-04-26 17:24:01 | 來源:營銷百科

時間:2023-04-26 17:24:01 來源:營銷百科

Lp空間:給定兩個實數(shù):1 ≤ p q ≤ ∞,當比較Lp(S, μ)和Lq(S, μ)的時候會發(fā)現(xiàn),前者中包含一些局部行為更加不規(guī)則的函數(shù),而后者中則包含了'尾巴更粗'的函數(shù)。舉例來說,中的連續(xù)函數(shù)(也就是實數(shù)域上的勒貝格可積函數(shù))可以在0的附近取很大的值,但當自變量趨于無窮大的時候,函數(shù)的值必須趨于0. 而對于中的連續(xù)函數(shù)(有界連續(xù)函數(shù)),無論自變量多大,函數(shù)值都可以不在0附近,但反過來說,無論自變量取多少,函數(shù)的值也不能超過上界和下界。

假設(shè)全集S在μ中的測度有限,以及1 ≤ p q ≤ ∞。那么由赫爾德不等式有如下限制:

這說明空間Lq(S, μ)可以被連續(xù)地嵌入到Lp(S, μ)里面。換句話說,Lq(S, μ)到Lp(S, μ)上的恒等映射是有界連續(xù)映射。的算子范數(shù)就是由以上不等式取等號的情形確定的:

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