商空間例子
時(shí)間：2023-03-29 17:08:02 | 來(lái)源：營(yíng)銷(xiāo)百科
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商空間例子：
黏合：通常，拓?fù)鋵W(xué)家討論將一些點(diǎn)黏合在一起。如果X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，點(diǎn)'黏合'在一起，這意味著我們考慮由等價(jià)關(guān)系a~b當(dāng)且僅當(dāng)a = b或a = x, b = y（或a = y, b = x）得到的商空間。即這兩個(gè)點(diǎn)被看作一個(gè)。
考慮一個(gè)單位正方形I
2 = [0,1]×[0,1]以及由所有邊界點(diǎn)等價(jià)生成的等價(jià)關(guān)系~，從而所有邊界點(diǎn)等同到一個(gè)等價(jià)類(lèi)。則I
2/~同構(gòu)于單位球面S
2。
黏著空間（Adjunction space）：更一般地，假設(shè)X是一個(gè)空間，A是X的一個(gè)子空間。我們可以將A中所有點(diǎn)等同到一個(gè)等價(jià)類(lèi)，而A以外的點(diǎn)不變。所得的空間記作X/A。2維球面同構(gòu)于將單位圓盤(pán)的邊界等同為一個(gè)點(diǎn)D
2/?D
2。
考慮集合X =
R'，取通常拓?fù)涞膶?shí)數(shù)集，記x ~ y 當(dāng)且僅當(dāng)x?y是一個(gè)整數(shù)。則商空間X/~同構(gòu)于單位圓周S
1，同構(gòu)映射為將x的等價(jià)類(lèi)映為 exp（2πix）。
上一個(gè)例子的一類(lèi)大量的推廣如下：假設(shè)一個(gè)拓?fù)淙篏連續(xù)作用在空間X上。我們可以構(gòu)造X上一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如果兩點(diǎn)等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)谕粋€(gè)軌道中。這個(gè)關(guān)系下的商空間稱為
軌道空間，記作X/G。上一個(gè)例子中G =
Z通過(guò)平移作用在
R上。軌道空間
R/
Z同構(gòu)于S
1。
注：記號(hào)
R/
Z有歧義：如果
Z理解成一個(gè)群作用在
R上則商空間是圓周；如果
Z看作
R的一個(gè)子空間，則商空間是無(wú)窮的一束圓（bouquet of circles）在同一個(gè)點(diǎn)聯(lián)接起來(lái)。
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