空間維度理解方式

時(shí)間：2023-07-07 07:33:02 | 來(lái)源：營(yíng)銷(xiāo)百科

時(shí)間：2023-07-07 07:33:02 來(lái)源：營(yíng)銷(xiāo)百科

空間維度理解方式：理解高維空間的基本方法是類(lèi)比。假設(shè)我是一個(gè)二維世界的人，我不能理解什么是'高度'，什么是'體'，什么是'空間'。你想向我描述三維世界中的立方體。你該怎么說(shuō)呢？你或許會(huì)從立方體的展開(kāi)圖開(kāi)始談起：圖(a)就是一個(gè)立方體的展開(kāi)圖，如果我們剪一個(gè)這種形狀的紙板，我們可以把它折成一個(gè)正方體。我開(kāi)始好奇了。- 你說(shuō)說(shuō)該怎么做呢？

- 先把上面幾個(gè)正方形折起來(lái)，把對(duì)應(yīng)的邊粘在一起……

- 等會(huì)兒呢等會(huì)兒呢，這幾個(gè)正方形是穩(wěn)定的形狀呀，它們的邊怎么可能挨到一起呢？

- 傻了吧！在二維世界中它們不是活動(dòng)的，但是它們可以向第三維度彎折??！給你畫(huà)一個(gè)圖(b)吧，這就是把上面那幾個(gè)正方形粘合起來(lái)的樣子，這就成了一個(gè)沒(méi)有封頂、還差一面的正方體……

- 你耍賴！你這樣彎折了之后正方形都不是正方形了，都變成梯形了！

- 不對(duì)，它們?nèi)匀皇钦叫?。圖(b)的六塊區(qū)域其實(shí)都是正方形，只是由于透視作用，它們看上去好像變'斜'了。

- 嗯，好吧，你繼續(xù)。

- 我們得到的是一個(gè)有蓋的盒子。上面五個(gè)正方形（其中有四個(gè)由于處于第三維度而變了形）的'內(nèi)部'已經(jīng)形成了'空間'了，可以往里面放東西了。要想做成一個(gè)封閉的正方體，只需要把剩下的那個(gè)正方形合上去就行了，最終結(jié)果就像圖(c)那樣。

- 咦？圖(c)里面，剛才最后要合上去的那個(gè)正方形到哪兒去了？

- 它就是最大的那個(gè)正方形。

- 胡說(shuō)！那個(gè)大正方形是五個(gè)小正方形拼成的！這個(gè)大正方形剛才在圖(b)里也有！

- 不是的。圖(b)里的大正方形的確是五個(gè)小正方形拼成的輪廓，但圖(c)里的那個(gè)大正方形是真實(shí)存在的，它就是最后合上去的那一塊。這個(gè)大正方形也并不是和那五個(gè)小正方形重疊在一起，它們?cè)诘谌S中的層次是不同的。圖(c)就是你夢(mèng)想的那個(gè)正方體了，它由六個(gè)正方形組成。你在圖(c)中看到的一個(gè)小正方形，一個(gè)大正方形，四個(gè)梯形事實(shí)上都是正方形，而且它們都一樣大。這六個(gè)正方形圍成了中間的那個(gè)'空間'。

- 我還是不明白。那個(gè)大正方形也是在第三維度的，為什么它沒(méi)變形呢？

- 這是因?yàn)椋@個(gè)正方形所在的方向不是第三個(gè)維度，因此看上去和原來(lái)一樣。

- 那同一個(gè)方向上為什么又有一大一小兩個(gè)正方形呢？

- 唉，真麻煩。這是因?yàn)?，它們的朝向雖然一樣，但在第三維度上的位置不一樣。小的那個(gè)正方形在第三個(gè)維度離我們遠(yuǎn)一些，看起來(lái)就要小一些。

- 哦！我有點(diǎn)明白了。是不是說(shuō)，旁邊一圈那四個(gè)'正方形'是跨越了第三維的，因此在第三維空間中一部分離我們近，一部分離我們遠(yuǎn)，于是看上去就是由大到小漸變過(guò)去的，就像是變形了。

- 對(duì)！你理解得很好！說(shuō)真的，平時(shí)生活在三維空間中，我都還沒(méi)仔細(xì)想過(guò)這一點(diǎn)呢。

- 我好像真的明白了，說(shuō)錯(cuò)了不要笑我哦。那個(gè)'空間'啊，說(shuō)穿了就是大正方形擦著四個(gè)變形正方形在第三維度上向遠(yuǎn)處的小正方形移動(dòng)所產(chǎn)生的'軌跡'。

- 正是正是！

- 哎呀我徹底明白了。怪不得我們說(shuō)n維立方體有2^n個(gè)點(diǎn)呢，其實(shí)道理很簡(jiǎn)單。其實(shí)只需要把n-1維立方體復(fù)制一份，然后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)相連就可以了。這就是n-1維立方體在第n維發(fā)生位移的結(jié)果，新增的那2^(n-1)條邊就是點(diǎn)的軌跡。

- 。我還給你看一個(gè)好玩的東西，讓你看看三維立方體是如何旋轉(zhuǎn)的。睜大眼睛仔細(xì)看好每個(gè)正方形都變到哪兒去了。

- 我又糊涂了。為什么從第三幅圖變成第四幅圖時(shí)，遠(yuǎn)處的小正方形能夠穿越左邊界，讓其中一小半跑到邊界左邊來(lái)？

- 這個(gè)確實(shí)不好理解。小正方形并沒(méi)有'穿過(guò)'那條豎直的邊，那條邊在第三維上離我們更近，而它在我們這個(gè)方向上的投影又與小正方形重合了。其實(shí)你可以看到，它們之間的拓?fù)潢P(guān)系仍然是不變的。

- 哦，于是乎遠(yuǎn)處的小正方形就轉(zhuǎn)到側(cè)面去了，然后又轉(zhuǎn)到離我們近的位置來(lái)了，替代了原先大正方形的位置……

- 回去沒(méi)事多想想吧。期待你睡覺(jué)時(shí)能夠做出一個(gè)三維的夢(mèng)。

- 好的。謝了。

我們可以用類(lèi)比的方法得出：四維立方體是由8個(gè)大小相同的三維立方體組成，其展開(kāi)圖如圖(a)。圖(b)是粘合出來(lái)的四維盒子，還差一個(gè)蓋子沒(méi)有蓋。這些看起來(lái)像棱臺(tái)的東西其實(shí)都是根正苗紅的正方體，只是由于它們?cè)谒木S空間中位置不同，發(fā)生了透視。

把蓋子蓋上后，我們就看到了傳說(shuō)中的四維立方體，這個(gè)圖形相信很多網(wǎng)友已經(jīng)很熟悉了。圖上有一大一小兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模樣的立方體，這是第四維度上位置不同但都正對(duì)我們的兩個(gè)'三維面'。其它棱臺(tái)其實(shí)都是正方體，只是看上去因透視而變形。四維立方體可以看作是三維立方體的移動(dòng)軌跡，因此畫(huà)一個(gè)四維立方體很簡(jiǎn)單：畫(huà)兩個(gè)三維立方體，然后連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可。觀察四維立方體的旋轉(zhuǎn)，你會(huì)看到里面的小立方體穿過(guò)一個(gè)面跑到了外面，而后又變成了最外面的大立方體。這一切都和二維向三維的推廣是類(lèi)似的。仔細(xì)觀察思考，你還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多可以類(lèi)比的地方。