列空間相關(guān)定理
時(shí)間：2023-02-27 18:30:02 | 來源：營銷百科
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列空間相關(guān)定理：
定理4兩個(gè)行等價(jià)的矩陣有相同的行空間。
證明：若
B行等價(jià)于
A，則
B可由
A經(jīng)有限次行運(yùn)算得到。因此，
B的行向量必為
A的行向量的線性組合。所以，
B的行空間必為
A的行空間的子空間，因?yàn)?b>A行等價(jià)于
B，由相同的原因，
A的行空間是
B的行空間的子空間。
定義A的行空間的維數(shù)稱為矩陣
A的秩(rank)。
為求矩陣的秩，可以將矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中的非零行將構(gòu)成行空間的一組基。
例2令
將
A化為行階梯形，得到矩陣
顯然，(1，-2，,3)和(0，1，5)構(gòu)成的行空間的一組基。因?yàn)楹?b>A是行等價(jià)所以它們有相同的行空間，且因此
A的秩為2。
一般地，若
A為一m×n矩陣，且是
A的行階梯形，則由于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故它們的列向量滿足相同的依賴關(guān)系。
定理5若
A為一m×n矩陣，則
A的行空間的維數(shù)等于
A的列空間的維數(shù)
[1]。
證明：若
A為一秩為r的m×n矩陣，則
A的行階梯形將有r個(gè)首1元素。中對應(yīng)于首1元素的列將是線性無關(guān)的。然而，它們并不構(gòu)成
A的列空間的基，這是因?yàn)?，一般地?b>A和有不同的列空間。令為消去中自由變量所在的列得到的新矩陣。從
A中消去相應(yīng)的列，并記新矩陣為。矩陣和也是行等價(jià)的。因此，若
x為的一個(gè)解，則
x必為的解。因?yàn)榈母髁惺蔷€性無關(guān)的，故
x必為
0，因此，的各列也是線性無關(guān)的，因?yàn)橛衦列，所以
A的列空間的維數(shù)至少為r。因?yàn)閷θ魏尉仃?，其列空間的維數(shù)大于或等于行空間的維數(shù)，將這個(gè)結(jié)論應(yīng)用于，我們有
dim(
A的行空間)=dim(的列空間)
≥dim(的行空間)
=dim(
A的列空間)
因此，對任何矩陣
A，行空間的維數(shù)必等于列空間的維數(shù)。
我們可以利用
A的行階梯形求
A的列空間的一組基。我們只需求中對應(yīng)于首1元素的列即可。
A中的相應(yīng)列將是線性無關(guān)的，并構(gòu)成
A的列空間的一組基。
注意：行階梯形僅告訴我們
A的哪一列用于構(gòu)成基。但不能用的列作為基向量，這是因?yàn)楹?b>A一般有不同的列空間。
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