空間曲率基本內(nèi)容
時(shí)間：2023-03-05 17:39:02 | 來(lái)源：營(yíng)銷百科
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空間曲率基本內(nèi)容：空間曲率：表征某種給定 度規(guī)的空間對(duì)于歐氏空間的偏離程度的量。舉例說(shuō)，球面是一種二維的彎曲空間，球面上弧元的平方是： 。
式中 、 為球面上的點(diǎn)在過(guò)球心的平面上投影的坐標(biāo); 是球的半徑;是這個(gè)空間的曲率。對(duì)于一般的二維曲面上的各個(gè)點(diǎn),能借兩個(gè)單參數(shù)曲線族（ =常數(shù), =常數(shù)）所定義的坐標(biāo) 和 來(lái)表示。在其上弧元的平方是：
d = 11d 2 12d d 22d ,
式中 11、 12、 22為坐標(biāo) 、 的函數(shù)。它反映著空間的度量性質(zhì)。過(guò)這種曲面上的每一點(diǎn)作切面，在切面上存在兩個(gè)互相垂直的方向。在這兩個(gè)方向上曲率1/ ,分別達(dá)到極大值和極小值1/ 和1/ 2。量
稱為高斯曲率。
黎曼研究了更一般的彎曲空間。在滿足一定條件的集合中給定一個(gè)二階協(xié)變張量場(chǎng)；對(duì)于局部坐標(biāo) ，…， ,這個(gè)張量場(chǎng)可以寫(xiě)為 ( ,…, ),它是對(duì)稱的,并且是非退化的。這樣的集合稱為黎曼空間。 稱為黎曼空間的度規(guī)張量。在這種空間中的弧元平方定義為d =g ( ,…, )d d 。上指標(biāo)與下指標(biāo)相同,代表這個(gè)指標(biāo)分別取空間中各維來(lái)求和。這種空間的彎曲性質(zhì)用黎曼曲率張量表示為：
式中 ，
被稱作聯(lián)絡(luò)。由 經(jīng)過(guò)一次升標(biāo)和縮并運(yùn)算,可以得到另外兩個(gè)表征空間彎曲的量,即里齊張量 和標(biāo)量曲率 。由某點(diǎn)上兩個(gè)線性獨(dú)立的方向 ξ媰，ξ媱決定的標(biāo)量：
叫作黎曼空間在該點(diǎn)的黎曼曲率。
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