商群性質(zhì)
時間：2023-04-01 11:46:01 | 來源：營銷百科
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商群性質(zhì)：商群G / G 同構(gòu)于平凡群（只有一個元素的群），而G / {e}同構(gòu)于G。
G / N的階定義為等于[G: N]，它是N在G中的子群的指標(biāo)（index）。如果G是有限的，這個指標(biāo)還等于G的階除以N的階。注意G / N可以在G和N二者是無限的時候是有限的（比如
Z / 2
Z）。
有一個'自然'滿射群同態(tài)π: G → G / N，把每個G的元素g映射到g所屬于的N的陪集上，也就是：π(g) = gN。映射π有時叫做'G到G / N上的規(guī)范投影'。它的核是N。
在包含N的G的子群和G / N的子群之間有一個雙射映射；如果H是包含N的G的子群，則對應(yīng)的G / N的子群是π(H)。這個映射對于G的正規(guī)子群和G / N也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性質(zhì)記錄在同態(tài)基本定理和同構(gòu)基本定理中。
如果G是阿貝爾群、冪零群或可解群，則G / N也是。
如果G是循環(huán)群或有限生成群，則G / N也是。
如果N被包含在G的中心內(nèi)，則G也叫做這個商群的中心擴(kuò)張。
如果H是在有限群G中的子群，并且H的階是G的階的一半，則H保證是正規(guī)子群，因此G / H存在并同構(gòu)于C
2。這個結(jié)果還可以陳述為'任何指標(biāo)為2的子群都是正規(guī)子群'，并且它的這種形式還適用于無限群。
所有群都同構(gòu)于一個自由群的商。
有時但非必然的，群G可以從G / N和N重構(gòu)為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴(kuò)張問題。不成立的一個例子如下。
Z4 / { 0, 2 }同構(gòu)于
Z2，并且還同構(gòu)于{ 0, 2 }，但是唯一的半直積是直積，因為
Z2只有一個平凡的自同構(gòu)。所以
Z4不同于
Z2 ×
Z2，它不能被重構(gòu)。
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