希爾伯特空間定義
時間：2023-07-03 23:30:01 | 來源：營銷百科
時間：2023-07-03 23:30:01 來源：營銷百科
希爾伯特空間定義：在一個復(fù)數(shù)向量空間上的給定的內(nèi)積可以按照如下的方式導(dǎo)出一個范數(shù)（norm）：
此空間稱為是一個希爾伯特空間，如果其對于這個范數(shù)來說是完備的。這里的完備性是指，任何一個柯西列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的范數(shù)差的極限為。任何一個希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。
任何有限維內(nèi)積空間（如歐幾里得空間及其上的點積）都是希爾伯特空間。但從實際應(yīng)用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值，例如
酉群（unitary group）的表示論。
平方可積的隨機(jī)過程理論。
偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。
函數(shù)的譜分析及小波理論。
量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述。
內(nèi)積可以幫助人們從'幾何的'觀點來研究希爾伯特空間，并使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓?fù)湎蛄靠臻g中，希爾伯特空間性質(zhì)最好，也最接近有限維空間的情形。
傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數(shù)表示成一族給定的基底函數(shù)的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數(shù)的和。
在線咨詢