代數(shù)系統(tǒng)(數(shù)據(jù)庫(kù))

時(shí)間：2022-12-17 22:30:01 | 來(lái)源：信息時(shí)代

時(shí)間：2022-12-17 22:30:01 來(lái)源：信息時(shí)代

    代數(shù)系統(tǒng) : 抽象代數(shù)學(xué)研究的對(duì)象,是20世紀(jì)20年代在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一門學(xué)科,它在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域均有應(yīng)用,近年來(lái)并大量用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。
抽象代數(shù)學(xué)是研究由非特定的任意元素組成的集合及定義在元素之間滿足若干條件或公理的代數(shù)運(yùn)算所組成的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支。設(shè)S為一非空集合,S上的n維笛卡兒積Sⁿ(見關(guān)系)到S的映射(見函數(shù))f:Sⁿ→S稱為S上的n元運(yùn)算。最常見的是一元運(yùn)算S: S→S和二元運(yùn)算f:S²→S。如在實(shí)數(shù)集上求相反數(shù)是一元運(yùn)算,實(shí)數(shù)的加法和乘法是二元運(yùn)算。非空集合S和S上的k個(gè)運(yùn)算f₁,f₂,…,f_k組成的系統(tǒng),稱作代數(shù)系統(tǒng),記做〈S,f₁,f₂,…,f_k〉。代數(shù)系統(tǒng)也稱作代數(shù)結(jié)構(gòu)。代數(shù)系統(tǒng)包括半群、群、環(huán)、域和格等。下面用Z、Q、R和C分別表示整數(shù)集合、有理數(shù)集合、實(shí)數(shù)集合和復(fù)數(shù)集合。
1. 二元運(yùn)算的性質(zhì)
在代數(shù)系統(tǒng)中常將一元運(yùn)算f(a)記為*a,二元運(yùn)算f(a,b)記為a*b。設(shè)·與*為非空集合S上的二元運(yùn)算。①冪等律: 若∀a∈S,a*a=a, 則稱*滿足冪等律。 ②交換律: 若∀a, b∈S, a*b=b*a, 則稱*滿足交換律。 ③結(jié)合律: 若∀a, b, c∈S,a*(b*c)=(a*b)*c,則稱*滿足結(jié)合律。④分配律: 若∀a, b, c∈S, a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)*(c·a),稱·對(duì)*滿足分配律。⑤吸收律: 若·與*滿足交換律且∀a, b∈S, a*(a·b)=a, a·(a*b)=a, 則稱·與*滿足吸收律。例如,集合的并、交運(yùn)算滿足冪等律、交換律、結(jié)合律,并對(duì)交和交對(duì)并滿足分配律,并與交滿足吸收律; 實(shí)數(shù)集合上的加法、乘法都滿足交換律和結(jié)合律,但不滿足冪等律。乘法對(duì)加法滿足分配律,但加法對(duì)乘法不滿足分配律,加法與乘法不滿足吸收律; 矩陣乘法滿足結(jié)合律,但不滿足交換律。
2.二元運(yùn)算的特異常數(shù)
設(shè)*為集合S上的二元運(yùn)算。①單位元:設(shè)e∈S,若∀a∈S, e*a=a*e=a,則稱e為S關(guān)于運(yùn)算*的單位元。 ②零元: 設(shè)θ∈S, 若∀a∈S, θ*a=a*θ=θ, 則稱θ為S關(guān)于運(yùn)算*的零元。③逆元:設(shè)*為S上的二元運(yùn)算,e為單位元,a∈S,若存在b∈S使得b*a=a*b=e,則稱b為a關(guān)于運(yùn)算*的逆元,常記作a^-1。此時(shí)又稱a是可逆的。例如,在實(shí)數(shù)集合上,0是關(guān)于加法的單位元,而1是關(guān)于乘法的單位元。0是關(guān)于乘法的零元。對(duì)任意的z,z關(guān)于加法的逆元為-z: 當(dāng)z≠0時(shí),z關(guān)于乘法的逆元為1/z。
3.群論: 一種重要的代數(shù)系統(tǒng)
半群: 若G上的二元運(yùn)算*滿足結(jié)合律,則稱代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉為半群。
獨(dú)異點(diǎn): 有單位元的半群。
群: 每個(gè)元素都可逆的獨(dú)異點(diǎn),即群是滿足下述3個(gè)條件的代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉: ①二元運(yùn)算*滿足結(jié)合律, ∀a, b, c∈G, a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有單位元e,∀a∈G, a*e=a*e=a;③G的每一個(gè)元素a有逆元a^-1,a*a^-1＝a^-1*a=e。群〈G,*〉可簡(jiǎn)記為G。例如,任一集合S的冪集P(S)關(guān)于并(交)運(yùn)算構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn), 其中空集∅(集合S)是單位元; 設(shè)∑是一非空集合,∑*是∑中有限長(zhǎng)字符串的全體, “”表示兩個(gè)字符串的連接,如abaobba=ababba,則〈Σ*,〉是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn), 其中空串是單位元;整數(shù)集合關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)群,稱作整數(shù)加法群,類似地還有有理數(shù)加法群、實(shí)數(shù)加法群;設(shè)n是正整數(shù),記Z_n＝{0,1,…,n-1},Z^*＝{1,2,…,n-1},定義模n加法⨁和模n乘法⨂如下:∀x,y∈Z_n, x⨁y=(x+y)mod n,x⨂y=xy mod n,則〈Z_n,⨁〉是群, 稱作模n加法群; 〈Z^*,⨂〉是獨(dú)異點(diǎn);當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí),〈Z^*, ⨂〉是群, 稱作模n乘法群。
子群: 設(shè)〈G, *〉, HG是一非空集合, 若〈H,*〉構(gòu)成一個(gè)群,則稱H是G的子群。例如,有理數(shù)加法群是實(shí)數(shù)加法群的子群,整數(shù)加法群是有理數(shù)加法群的子群、也是實(shí)數(shù)加法群的子群。
有限群與無(wú)限群: 只有有限個(gè)元素的群稱為有限群,否則稱為無(wú)限群。有n個(gè)元素的有限群稱作n階群。例如,模n加法群是n階有限群,整數(shù)加法群是無(wú)限群。n階群的子群的階必是n的因子。
交換群: 運(yùn)算是可交換的群,又稱阿貝爾群。例如,整數(shù)加法群是交換群; 全體n階可逆矩陣關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群,它不是交換群。在群中,a*b常簡(jiǎn)記作ab,n個(gè)a的運(yùn)算a*a*…*a記作aⁿ,稱作a的n次冪,規(guī)定a⁰＝e。
在群中,①滿足消去律,即若ab=ac(或ba=ca),則b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解,它們的解分別為x=a^-1b和x=ba^-1。
循環(huán)群: 一類最簡(jiǎn)單且應(yīng)用廣泛的群。若群G的每一個(gè)元素都可以表示成某個(gè)元素a的冪,則稱G是循環(huán)群,a是G的生成元,記做G=〈a〉。n階循環(huán)群可表示成{e,a,a²,…,a^n-1},無(wú)限循環(huán)群可表示成{e,a,+,aⁿ,…}。例如,整數(shù)加法群是無(wú)限循環(huán)群,有兩個(gè)生成元1和-1;模n加法群是循環(huán)群,1是一個(gè)生成元,還可能有其他的生成元。如模10加法群有4個(gè)生成元1,3,7和9。循環(huán)群都是交換群,循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。
4.環(huán)和域
在非空集合S上定義兩個(gè)二元運(yùn)算+和·(分別稱為“加法”和“乘法”)。若代數(shù)系統(tǒng)〈S,+〉是交換群,〈Z,·〉是半群,且·對(duì)+滿足分配律,即①加法+滿足結(jié)合律和交換律,有單位元0,每一個(gè)元素都有逆元; ②乘法·滿足結(jié)合律; ③·對(duì)+滿足分配律, ∀a, b∈S, a·(b+c)=(a·b)+(a·c), (b+c)·a=(b·a)+(c·a),則稱代數(shù)系統(tǒng)〈S,+,·〉為一個(gè)環(huán)。在環(huán)中,加法的單位元0常稱為零元,a的加法逆元稱作負(fù)元,記作-a。乘法可交換的環(huán)稱作交換環(huán)。
設(shè)〈S,+,·〉是一個(gè)環(huán)。如果乘法·有單位元、是可交換的, 且∀a, b∈S, a≠0且b≠0蘊(yùn)涵ab≠0,則稱〈S,+,·〉是整環(huán)。如果〈S*,·〉也構(gòu)成群,其中S*=S-{0},則稱〈S,+,·〉是除環(huán)。乘法·是可交換的除環(huán)稱作域。
例如,有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于加法和乘法都構(gòu)成域,分別稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域。整數(shù)集關(guān)于加法和乘法構(gòu)成整環(huán)。對(duì)任意的整數(shù)n≥2, 〈Z_n, ⨁, ⨂〉是環(huán); 當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí), 〈Z_n,⨁, ⨁〉是域。