非經(jīng)典邏輯(數(shù)據(jù)庫)

時(shí)間：2022-12-21 00:30:02 | 來源：信息時(shí)代

時(shí)間：2022-12-21 00:30:02 來源：信息時(shí)代

    非經(jīng)典邏輯 : 具有特定語義及受限語法的一種邏輯,比較流行的有多值邏輯、模態(tài)邏輯、非單調(diào)邏輯、時(shí)態(tài)邏輯、模糊邏輯等。非經(jīng)典邏輯與經(jīng)典邏輯一樣在19世紀(jì)開始出現(xiàn),如多值邏輯、模態(tài)邏輯等已在20世紀(jì)取得了重大的進(jìn)展,由于受計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的影響,在20世紀(jì)70年代以后得到了重大的發(fā)展。非經(jīng)典邏輯在數(shù)據(jù)庫發(fā)展中對(duì)特種數(shù)據(jù)庫的建立起到了奠基與理論支撐的作用。
1. 多值邏輯(multivalued logic)
在經(jīng)典邏輯中,一個(gè)邏輯變量一般具有“真”、“假”兩值。但在客觀世界中,“三值”、“四值”以及“多值”的變量也是經(jīng)常會(huì)有的,如在數(shù)據(jù)庫的屬性值中可有三種,它們是“真值”、“假值”以及“空值”。在構(gòu)成計(jì)算機(jī)的雙穩(wěn)態(tài)元件外,尚有三穩(wěn)態(tài)元件、四穩(wěn)態(tài)元件等,所有這些都說明在某些情況下傳統(tǒng)二值邏輯是不夠的,還需要有“三值”、“四值”及“多值”等概念。在多值邏輯中,目前最常用的是三值邏輯,它是由波蘭數(shù)學(xué)家Lukasiewicz提出的。在三值邏輯中,也有“并且”(∧)、 “或者”(∨)、 “蘊(yùn)涵”(→)、 “否定”()等邏輯符,它們的解釋可以用真值表表示,也可以建立相應(yīng)的公理系統(tǒng)及相應(yīng)的定理。在Lukasiewicz的三值邏輯中,除有T(真)、F(假)兩值外,還有第三個(gè)值U,它表示“既不能確定其為真,也不能確定其為假”,在此語義解釋下,其真值表可以定義在表1中。

表1 多值邏輯真值表

否定

或者

并且

蘊(yùn)涵

A

A

A∨B

F

T

U

A∧B

F

T

U

A→B

F

T

U

F T U

T F U

F T U

F F U

F T T

U T U

F T U

F F F

F T U

F U U

F T U

T F U

T T T

T U T

在表1中分別表示了三值的否定、或者、并且以及蘊(yùn)涵的真值表。
對(duì)于全稱量詞及存在量詞,可定義如下(I表示論域):
全稱量詞:

存在量詞:

在上述定義后,可以進(jìn)一步建立三值邏輯的形式化系統(tǒng)(即公理系統(tǒng))并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三值邏輯的相關(guān)定理以及整個(gè)三值邏輯系統(tǒng)。
2. 模態(tài)邏輯(model logic)
經(jīng)典的邏輯是建立在陳述句上的,它不允許出現(xiàn)虛擬語句,而模態(tài)邏輯允許使用虛擬語句。如可能、必然、相信、希望等,這些都是“不確定的”概念,因此模態(tài)邏輯是一種“不確定”邏輯。
在模態(tài)邏輯中最常用的兩個(gè)虛擬詞是: “可能”與“必然”,以這兩個(gè)詞所建立起來的模態(tài)邏輯稱為Aristotle模態(tài)邏輯,它反映了在客觀世界中除了有“現(xiàn)實(shí)世界”(經(jīng)典邏輯所反映)外,還有“可能世界”與“必然世界”(Aristotle模態(tài)邏輯所反映)。
模態(tài)邏輯是經(jīng)典邏輯的一種擴(kuò)充,它將經(jīng)典邏輯中無法反映與表示的不確定思想通過模態(tài)邏輯表達(dá)出來。如“火星有水,故火星上可能有人”,“我明天一定參加會(huì)議”等均是有具體模態(tài)含義的典型例子。下面重點(diǎn)介紹Aristotle模態(tài)邏輯(簡稱模態(tài)邏輯)。
(1)在模態(tài)邏輯中經(jīng)典邏輯的公式、公理、規(guī)則均適用。
(2)在模態(tài)邏輯中增加兩個(gè)模態(tài)操作(或稱模態(tài)詞)。必然操作: □(一元操作),□A表示不論在什么場合均有事實(shí)A; 可能操作: ◇(一元操作),◇A表示對(duì)某些場合有事實(shí)A。
(3)對(duì)于兩個(gè)模態(tài)操作可有如下永真公式,它反映了P及□P與◇P間的邏輯關(guān)系。

(4)可以建立一個(gè)模態(tài)命題邏輯的形式語言:①基本符號(hào): 變量: x,y,p,q; 聯(lián)結(jié)詞: ～,∧;模態(tài)詞: □; 括號(hào): (,)。②原子公式: 變量是原子公式。③合式公式(簡稱公式): 原子公式是公式;如P、Q是公式,則～P、P∧Q、□P是公式; 公式由且僅由上述兩式經(jīng)有限步構(gòu)作而成。
(5)形式語言中的其他邏輯運(yùn)算符可視為是上述基本符號(hào)的一些擴(kuò)充,它們可定義如下:
P∨Q相當(dāng)于～(～P∧～Q);
P→Q相當(dāng)于～P∨Q;
P↔Q相當(dāng)于(P→Q)∧(Q→P);
◇P相當(dāng)于～□～Ps
P⇒Q相當(dāng)于□(P→Q);
P⇔Q相當(dāng)于□(P↔Q)。
(6)可以建立模態(tài)邏輯的公理系統(tǒng)。下面給出其中的一個(gè)公理系統(tǒng):
公理:
A1: P∧Q→Q∧P;
A2: P∧Q→P;
A3: P→Q∧P;
A4: P∧(Q∧R)→Q∧(P∧R);
A5: (P→Q)∧(Q→R)→(P→R);
A6: P→◇Ps A7: ◇～P→□～P。
規(guī)則:
R1: P,P→Q⊦Q;
R2: P, Q⊦P∧Q;
R3: 等價(jià)替換;
R4: 一致性替換。
3.非單調(diào)邏輯(non-monotonic logic)
經(jīng)典的邏輯均是“單調(diào)”的,即它是確定的,由已知事實(shí)所推出的結(jié)論不因增加已知事實(shí)而造成結(jié)論的喪失。但是在現(xiàn)實(shí)世界中往往會(huì)產(chǎn)生很多例外(即不確定性),如“鳥會(huì)飛”、“天下烏鴉一般黑”,一般認(rèn)為是對(duì)的,但是它們有很多例外,如鴕鳥、死鳥、玩具鳥等均不會(huì)飛。又如,世界上也確實(shí)有“白烏鴉”等,根據(jù)“鳥會(huì)飛”,我們將有“a是鳥”立即可以推得“a會(huì)飛”的結(jié)論。但如“a是鴕鳥”我們立即會(huì)撤回“a會(huì)飛”的結(jié)論,并且會(huì)加入: “鴕鳥不會(huì)飛”,或修改成: “鳥會(huì)飛除非它是鴕鳥”。現(xiàn)實(shí)世界中的這種非單調(diào)性構(gòu)成了邏輯中的非單調(diào)邏輯。
一般我們認(rèn)為,在一個(gè)公理系統(tǒng)T中增加一些斷言后可得到一個(gè)新公理系統(tǒng)T。如某公式A在T中成立,它必在T中也成立,則此種邏輯稱為單調(diào)邏輯; 如A在T中成立但它在T中未必一定成立,則此種邏輯稱為非單調(diào)邏輯。
非單調(diào)邏輯反映了客觀世界的下述三種情況:
(1)知識(shí)不完全時(shí),往往需要做一些缺省推理,這些假設(shè)在有更多知識(shí)時(shí)可能是無效的,前面有關(guān)鴕鳥的例子即屬此類。
(2)在問題求解時(shí),人們常常做一些暫時(shí)的假設(shè),以便取得“可能”的解,但這些假設(shè)有可能對(duì)也有可能不對(duì)。
(3) 由于客觀世界的經(jīng)常變化產(chǎn)生了另一種知識(shí)不完全時(shí),不作缺省推理而是沿用了過時(shí)、陳舊的知識(shí)而產(chǎn)生了錯(cuò)誤。
非單調(diào)邏輯的表示方法,一般是在經(jīng)典邏輯中加入一個(gè)表示“相容”的模態(tài)操作M而得到的,其MP表示與已推得定理相容,并且與此同時(shí)再建立一個(gè)非單調(diào)推理。 如P則|～MP。
|～MP中的|～表非單調(diào)推理,它的含義是如果有推不出 P, 則我們認(rèn)為可以非單調(diào)推出MP, 利用MP以及|～MP可以在經(jīng)典邏輯之上建立一套完整的非單調(diào)邏輯理論。
4.時(shí)態(tài)邏輯(temporal logic)
我們的世界是一個(gè)變化的世界,這個(gè)世界隨著時(shí)間的推移而不斷地產(chǎn)生變化,因此,時(shí)間因素在研究任何問題時(shí)都變得極為重要,而一種帶有時(shí)間語義的邏輯我們一般稱為時(shí)態(tài)邏輯。目前,時(shí)態(tài)邏輯有兩種處理方法,一種是在經(jīng)典邏輯中加入有關(guān)時(shí)間謂詞; 另一種是在模態(tài)邏輯中引入一些有關(guān)時(shí)間的模態(tài)操作,其具體如下:
(1)一階邏輯的擴(kuò)充: 在一階邏輯中引入兩個(gè)與時(shí)間相關(guān)的謂詞,它們是:
ET(t₁,t₂₎: 表示時(shí)間t₁在時(shí)間t₂之前。
SS(t₁,t₂₎: 表示時(shí)間t₂是t₁的直接后繼。
有關(guān)ET與SS的語義可用一組公式定義,如ET就有如下公式: ∀x∀y(ET(x,y)→tpt(x)∧tpt(y))。其中,tpt表示時(shí)間點(diǎn)。∀x∀y(ET(x,y)∨x=y∨ET(y,x)∨～tpt(x)∨tpt(y))。對(duì)于兩個(gè)時(shí)間點(diǎn),不是在另一個(gè)之前, 就是兩個(gè)相同。∀x∀y(ET(x,y)∧ET(y,z)→ET(x,z))表示時(shí)間有關(guān)謂詞具有傳遞性。∀x∀y(ET(x,y)→～ET(y,x))表示時(shí)間有關(guān)謂詞的非自反性。以上述ET、SS兩個(gè)謂詞為基礎(chǔ)再加上這四個(gè)公式為公理,可以在經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上擴(kuò)充成時(shí)態(tài)邏輯系統(tǒng)。
(2)基于模態(tài)的時(shí)態(tài)邏輯: 在模態(tài)邏輯中加入若干個(gè)有關(guān)時(shí)間的模態(tài)操作,如P操作表示“過去”的模態(tài)操作,F操作表示“將來”的模態(tài)操作,如:
(it rains)表示it is raining;
P(it rains)表示it has rained;
F(it rains)表示it will rain。
用P、F還可以定義模態(tài)操作,如:
Hq=P(q)表示一直是q;
Gq=F(q)表示將會(huì)一直是q。
用經(jīng)典的命題邏輯公理再加上下面P、F、H、G的有關(guān)公理規(guī)則,可以構(gòu)成一個(gè)簡單的命題時(shí)態(tài)邏輯的最小公理系統(tǒng):
公理:
G(q→r)→(Gq→Gr);
H(q→r)→(Hq→Hr);
H(Gq)→q;
G(Hq)→q。
規(guī)則:
如果q永真,則有Hq;
如果q永真,則有Gq。
5.模糊邏輯(fuzzy logic)
在現(xiàn)實(shí)世界中很多知識(shí)包含大量的不確定性,如“高個(gè)子”、“大胡子”中的“高”與“大”均有一定模糊性,它們很難用一個(gè)明確的數(shù)量概念予以確定,而建立在這種不確定基礎(chǔ)上的邏輯稱為模糊邏輯。
模糊理論以及模糊邏輯是由美國L.A Zadeh于20世紀(jì)60年代首先提出,其基礎(chǔ)是模糊集合中的模糊子集概念,在模糊子集中一個(gè)元素對(duì)該子集有一個(gè)隸屬度,隸屬度是一個(gè)介于0與1間的實(shí)數(shù),它表示了一個(gè)對(duì)象隸屬某個(gè)模糊概念的程度。如“X是高個(gè)子”中,可以將高個(gè)子視為一個(gè)模糊概念,X是一個(gè)對(duì)象。在模糊理論中X屬于高個(gè)子有一個(gè)隸屬度,如為0.9即表示X為高個(gè)子的程度。隸屬度建立了集合與元素間的模糊關(guān)系,而某個(gè)集合與其所有元素間的隸屬關(guān)系則是一個(gè)函數(shù),稱為隸屬函數(shù)。
在模糊邏輯中,廣泛地使用了隸屬函數(shù)的概念,它在傳統(tǒng)邏輯基礎(chǔ)上,在以下情況下引入隸屬度與隸屬函數(shù):
(1)在原子命題及原子謂詞中引入隸屬函數(shù)。
(2)在邏輯運(yùn)算中引入隸屬函數(shù)及隸屬度,如兩個(gè)模糊命題的“合取”運(yùn)算所得結(jié)果命題其隸屬度為對(duì)應(yīng)兩個(gè)命題隸屬度的最小值,而“析取”運(yùn)算所得結(jié)果命題其隸屬度為對(duì)應(yīng)命題的最大值,而一個(gè)模糊命題的否定命題其隸屬度為“1-模糊命題隸屬度” 。
(3)在邏輯推理中引入推理的隸屬度與隸屬函數(shù)。
這樣,就建立了一套模糊邏輯的完整理論。