集合論(數據庫)

時間：2022-12-28 08:30:02 | 來源：信息時代

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    集合論 : 數學中以一般集合為研究對象的一個基本的分支學科。集合論在數學中占有獨特的地位,它的基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論可以看作整個現代數學的基礎。
集合論是由德國數學家Georg Cantor于19世紀末創(chuàng)立的。它的發(fā)展經歷了兩個階段: 1908年以前為樸素集合論階段,1908年以后又產生了公理集合論。樸素集合論在各數學分支中都得到了廣泛的應用,促使各數學學科的迅速發(fā)展,特別是解決了19世紀末20世紀初的幾何學和微積分學的危機?？墒?樸素集合論有不嚴謹之處。Bertrand A. W.Russell在1901年發(fā)現了著名的集合論悖論,世稱羅素悖論。為了消除悖論,Ernst Zermelo與Abraham Fraenkel等人創(chuàng)立了ZF公理系統(tǒng),克服了樸素集合論中的悖論,解決了集合論的危機,使集合論重新獲得迅速發(fā)展,形成公理集合論。如今,公理集合論已經成了數理邏輯的組成部分。實際上,公理集合論不外乎是對樸素集合論的嚴格處理。樸素集合論由于它的簡單直觀,現在仍繼續(xù)得到廣泛的應用。
(1)集合: 是集合論的研究對象,它是數學中不能精確定義的最基本概念。在實際應用中往往將一定范圍內的具有一定性質、又各不相同的事物當作一個整體來看,這就組成一個集合,其中每一個事物稱為集合的元素。常用A,B,C等大寫字母表示集合,用小寫字母a,b,c等表示集合中的元素,并且用x∈A表示x為A的元素,用x∉A表示x不是A的元素。元素個數有限的集合稱為有窮集合,否則稱為無窮集合。例如,所有的中國人,某個家庭的所有成員,一張桌子、一把椅子和一只貓都構成集合。由所有自然數組成的集合叫做自然數集,類似地有整數集、有理數集和實數集。今后把它們分別記作N,Z,Q和R。①列舉法:列出集合中全體元素。例如,{1,2,3},{a,b,c,d},{a,{1,3}};②描述法:用集合的全體元素所具有的特有性質描述。例如,由所有非負偶數組成的集合,常表示成{x|x=2k,k∈N}。又如,方程x³-6x²+11x-6=0的根組成的集合可表示成: {x|x∈R且x³-6x²+11x-6=0}或{1,2,3}。
(2)集合的關系:設A,B是兩個集合。①子集:如果A的元素都在B中,則稱A是B的子集,或B包含A, 記作AB。②相等: 如果AB且B>A,則稱A等于B,記做A=B; 否則說A不等于B,記作A≠B。③真子集:如果AB且A≠B,則稱A是B的真子集, 記作A⊂B。④不相交: 如果不存在x使得x∈A且x∈B,即A與B沒有共同的元素,則稱A與B不相交。
(3)空集: 不含任何元素的集合,記做∅?？占且磺屑系淖蛹?br>(4)全集: 在某一個具體問題中,若所涉及的集合都是某集合E的子集,則稱E是全集。例如,在研究自然數的性質時,可以把自然數集合N作為全集; 在某個班中,可取該班全體學生組成的集合為全集。
(5)冪集: 由集合A的全體子集組成的集合稱作A的冪集, 記作P(A)。 例如, 設A={∅}, B={1,2}, 則P(A)={∅, {∅}},P(B)={∅, {1}, {2}, {1,2}}。若A有n個元素,則P(A)有2ⁿ個元素。
(6)集合運算: ①并集: 由集合A和B的全體元素組成的集合稱作A與B的并集,記做A∪B,其中∪是并運算符。②交集: 由集合A與B的公共元素組成的集合稱作A與B的交集,記作A∩B,其中∩是交運算符。③相對補集: 由屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱作B對A的相對補集,記作A-B,其中一是相對補運算符。④絕對補集: 由不屬于A(屬于全集)的元素組成的集合稱作A的絕對補集,記作～A,其中～是絕對補運算符。⑤對稱差集: 由屬于A而不屬于B或屬于B而不屬于A的元素組成的集合稱作A與B的對稱差集,記作A⨁B, 其中⨁是對稱差運算符。 A⨁B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
例如,設A={1,2,b,c},B={2,3,a,b},則A∪B={1,2,3,a,b,c},A∩B={2,b},A-B={1, c}, B-A={3,a}, A⨁B={1, 3, a, c}。又設全集E={1,2,3,4,a,b,c,d},則～A={3,4,a,d}。
(7)基本集合恒等式: 設A,B,C為集合,E為全集:
冪等律: A∪A=A,A∩A=A。
交換律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。
結合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
德·摩根律:絕對形式:～(A∩B)=～A∩～B,～(A∩B)=～A∪～B; 相對形式:A-(B∪C)=(AB)∩(A-C),A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)。
吸收律: A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
零律: A∪E=E, A∩∅=∅。
同一律:A∪∅=A, A∩E=A。
排中律:A∪～A=E。
矛盾律:A∩～A=∅。
余補律: ～∅=E, ～E=∅。
雙重否定律: ～(～A)=A。
補交轉換律: A-B=A∩～B。