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希爾伯特空間希爾伯特空間的基

時間：2023-07-03 23:45:01 | 來源：營銷百科

時間：2023-07-03 23:45:01 來源：營銷百科

希爾伯特空間希爾伯特空間的基：勒貝格空間( 這里指 空間 )是指定義在測度空間 上的函數(shù)空間，其中 代表函數(shù)的定義域， 的元素是 上的子集族，為 一個 代數(shù)，一般把 稱作可測空間(measurable space)，而 是 上的測度。

更仔細的說，( 簡寫做 ) 表示 上所有平方可積（square-integrable）的復(fù)數(shù)值的可測函數(shù)的集合。平方可積表示該函數(shù)的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 空間里，對于幾乎處處( almost everywhere )相同的函數(shù)，也就是說如果兩函數(shù)只在一個測度為0的集合上不相等，我們把這兩函數(shù)當做在 中相同的元素。

此時兩個函數(shù)和的內(nèi)積定義為

因為 ，所以這內(nèi)積的定義沒有問題。

但需要證明的是：

此空間在此內(nèi)積下是完備的。

這個證明可以在相關(guān)的書籍中找到，與此例相關(guān)的內(nèi)容可以參看關(guān)于空間的著作。

關(guān)鍵詞：空間

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