T1空間例子
時(shí)間：2023-07-09 02:30:01 | 來源：營(yíng)銷百科
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T1空間例子：Sierpinski空間是 T
0 而非 T
1 的拓?fù)淇臻g的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。
重疊區(qū)間拓?fù)涫?T
0 而非 T
1 的一個(gè)例子。
在無限集合上的余有限拓?fù)涫?T
1 而非豪斯多夫(T
2) 的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。這是因?yàn)闆]有余有限拓?fù)涞膬蓚€(gè)開集是不相交的。特別是，設(shè) X 是整數(shù)集合，并定義開集 O
A 是包含除了 A 的所有 X 的有限子集的那些 X 的子集。則給定不同的整數(shù) x 和 y:
開集 O
{x} 包含 y 但不包含 x，而開集 O
{y} 包含 x 但不包含 y；
等價(jià)的，所有單元素集合 {x} 是開集 O
{x} 的補(bǔ)集，所以它是閉集；
所以通過上述每個(gè)定義結(jié)果的空間是 T
1。這個(gè)空間不是 T
2，因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)開集O
A 和 O
B 的交集是 O
A∪B，它永遠(yuǎn)非空。可供選擇，偶整數(shù)集合是緊致的但不是閉集，它不可能在豪斯多夫空間內(nèi)。
上述例子可以稍微修改來建立雙點(diǎn)余有限拓?fù)洌?R
0 不是 T
1 也不是 R
1 的空間的例子。設(shè) X 是整數(shù)的集合，并使用上例中 O
A 定義，定義對(duì)任何整數(shù) x 開集 G
x 的子基為 G
x = O
{x, x 1} 如果 x 為偶數(shù) 和 G
x = O
{x-1, x} 如果 x 是奇數(shù)。則這個(gè)拓?fù)涞幕山o出自子基集合的有限交集：給定有限集合 A，X 的開集是
結(jié)果的空間不是 T
0（因此不是 T
1），因?yàn)辄c(diǎn) x 和 x 1（對(duì)于偶數(shù) x）是拓?fù)洳豢蓞^(qū)分的；但是在其他方面它本質(zhì)上等價(jià)于上個(gè)例子。
在代數(shù)簇上的Zariski拓?fù)涫?T
1 的。要看出來，請(qǐng)注意帶有局部坐標(biāo) (c
1,...,c
n) 的點(diǎn)是多項(xiàng)式 x
1-c
1, ..., x
n-c
n 的零集合。因此點(diǎn)是閉合的。但是這個(gè)例子作為非豪斯多夫(T
2) 的空間而知名。Zariski 拓?fù)浔举|(zhì)上是余有限拓?fù)涞睦印?br>
所有完全不連通空間是 T
1，因?yàn)樗悬c(diǎn)都是連通單元因此是閉合的。
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