完備空間相關概念
時間：2023-04-02 03:48:01 | 來源：營銷百科
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完備空間相關概念：類似于從有理數域出發(fā)定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。
對M中的任意兩個柯西序列x=(x
n)和y=(y
n)，我們可以定義它們間的距離：d(x,y) = lim
n d(x
n,y
n)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從L
p到），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基于距離為0的關系（易于驗證該關系是等價關系）。這樣，令ξ
x = {y是M上的柯西序列：}，M' ={ξ
x：x ∈ M}，原空間M就以xξ
x的映射方式嵌入到新的完備度量空間M' 中。易于驗證，M等距同構于M' 的稠密子空間。
康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。
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