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向量空間公理化定義

時間：2023-06-25 12:21:01 | 來源：營銷百科

時間：2023-06-25 12:21:01 來源：營銷百科

向量空間公理化定義：給定域F，F(xiàn)上的向量空間V是一個集合，其上定義了兩種二元運算：

向量加法 : V × V → V，把V中的兩個元素 u 和 v 映射到V中另一個元素，記作 u v；

標(biāo)量乘法 ·: F × V → V，把F中的一個元素 a 和 V 中的一個元素u變?yōu)閂中的另一個元素，記作 a ·u。

V中的元素稱為向量，相對地，F(xiàn)中的元素稱為標(biāo)量。

而集合V公理才構(gòu)成一個向量空間（對F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

公理說明
向量加法的結(jié)合律u (v w) = (u v) w
向量加法的交換律u v = v u
向量加法的單位元存在一個叫做零向量的元素0 ∈ V，使得對任意u ∈ V都滿足u 0 = u
向量加法的逆元素對任意v ∈ V都存在其逆元素?v ∈ V使得v (?v) = 0
標(biāo)量乘法與標(biāo)量的域乘法相容a(bv) = (ab)v
標(biāo)量乘法的單位元域F存在乘法單位元1滿足1v = v
標(biāo)量乘法對向量加法的分配律a(u v) = au av
標(biāo)量乘法對域加法的分配律(a b)v = av bv
前四個公理說明裝備了向量加法的V是交換群，余下的四個公理應(yīng)用于標(biāo)量乘法。需要注意的是向量之間的加法' '和標(biāo)量之間的加法' '是不一樣的，標(biāo)量與向量之間的標(biāo)量乘法·和兩個標(biāo)量之間的乘法（域F中自帶的乘法）也是不一樣的。

簡而言之，向量空間是一個F?模。

關(guān)鍵詞：定義,空間,公理,向量

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