向量空間子空間基底
時(shí)間：2023-06-25 12:33:01 | 來源：營(yíng)銷百科
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向量空間子空間基底：對(duì)一般域F，V記為F-
向量空間。若F是實(shí)數(shù)域?，則V稱為
實(shí)數(shù)向量空間；若F是復(fù)數(shù)域?，則V稱為
復(fù)數(shù)向量空間；若F是有限域，則V稱為
有限域向量空間。
最簡(jiǎn)單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為域中元素的加法，標(biāo)量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當(dāng)F是實(shí)數(shù)域?時(shí)，可以驗(yàn)證對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b以及任意實(shí)數(shù)
u、
v、
w，都有：
- u (v w) = (u v) w，
v w = w v，
零元存在：實(shí)數(shù)0滿足：對(duì)任何的實(shí)數(shù)v，v 0 = v，
逆元素存在：對(duì)任何的實(shí)數(shù)v，它的相反數(shù)w = ?v就滿足v w = 0。
標(biāo)量乘法對(duì)向量加法滿足分配律：a(v w) = a v aw.
向量乘法對(duì)標(biāo)量加法滿足分配律：(a b)v = a v b v.
標(biāo)量乘法與標(biāo)量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
標(biāo)量乘法有單位元：?中的乘法單位元，也就是實(shí)數(shù)'1'滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)v，1v = v。
更為常見的例子是給定了直角坐標(biāo)系的平面：平面上的每一點(diǎn)都有一個(gè)坐標(biāo)，并對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量。所有普通意義上的平面向量組成了一個(gè)空間，記作?2，因?yàn)槊總€(gè)向量都可以表示為兩個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組?？梢则?yàn)證，對(duì)于普通意義上的向量加法和標(biāo)量乘法，?2滿足向量空間的所有公理。實(shí)際上，向量空間是?2的推廣。
同樣地，高維的歐幾里得空間?
n也是向量空間的例子。其中的向量表示為，其中的都是實(shí)數(shù)。定義向量的加法和標(biāo)量乘法是：
，可以驗(yàn)證這也是一個(gè)向量空間。
再考慮所有系數(shù)為實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式的集合。對(duì)于通常意義上的多項(xiàng)式加法和標(biāo)量乘法，也構(gòu)成一個(gè)向量空間。更廣泛地，所有從實(shí)數(shù)域射到實(shí)數(shù)域的連續(xù)函數(shù)的集合也是向量空間，因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和或差以及連續(xù)函數(shù)的若干倍都還是連續(xù)函數(shù)。
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