向量空間概念化及額外結(jié)構(gòu)
時間：2023-06-25 12:36:01 | 來源：營銷百科
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向量空間概念化及額外結(jié)構(gòu)：如果一個向量空間
V的一個非空子集合
W對于
V的加法及標(biāo)量乘法都封閉（也就是說任意
W中的元素相加或者和標(biāo)量相乘之后仍然在
W之中），那么將
W稱為
V的
線性子空間（簡稱子空間）。
V的子空間中，最平凡的就是空間
V自己，以及只包含
0的子空間。
給出一個向量集合
B，那么包含它的最小子空間就稱為它的
生成子空間，也稱
線性包絡(luò)，記作span(
B)。
給出一個向量集合
B，若它的生成子空間就是向量空間
V，則稱
B為
V的一個
生成集。如果一個向量空間
V擁有一個元素個數(shù)有限的生成集，那么就稱
V是一個有限維空間。
可以生成一個向量空間
V的線性無關(guān)子集，稱為這個空間的
基。若
V={
0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間
V，基是
V'最小'的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基
B之后，空間內(nèi)的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標(biāo)排列：，那么空間中的每一個向量
v便可以通過坐標(biāo)系統(tǒng)來呈現(xiàn)：
這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標(biāo)系。
可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數(shù)，稱為該空間的
維度。當(dāng)
V是一個有限維空間時，
任何一組基中的元素個數(shù)都是定值，等于空間的維度。例如，各種實數(shù)向量空間：??, ?1, ?2, ?3,…, ?
∞,…中， ?
n的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是
n）中，
確定一組基，那么所有的向量都可以用n
個標(biāo)量來表示。比如說，如果某個向量
v表示為：
那么v可以用數(shù)組來表示。這種表示方式稱為向量的坐標(biāo)表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：
可以證明，存在從任意一個
n維的-向量空間到空間的雙射。這種關(guān)系稱為同構(gòu)。
關(guān)鍵詞：額外,結(jié)構(gòu),空間,向量
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